存命の最も偉大な数学者の一人が、次の世紀の研究の壮大な青写真を描くと、数学界全体が注目します。 1900年にパリのソルボンヌ大学で開催された国際数学者会議でまさにこれが起こりました。伝説の数学者ダヴィド・ヒルベルトは、20世紀の数学研究を導く壮大な指針となった10の未解決問題を提起しました。彼は後に、このリストを 23 の問題にまで拡張しましたが、これらの問題は過去 125 年近くにわたって数学的思考に計り知れないほど大きな影響を与えてきました。
これらの質問のうち、ヒルベルトの 6 番目の質問は特に野心的です。彼は物理学の「公理体系」の確立、すなわちすべての物理理論を支える最も基本的かつ洗練された数学的仮定を見つけることを主張した。もちろん、より広い意味では、数理物理学者は、この課題を完全に解決したかどうかを決して確実に知ることはできないかもしれません。しかし、ヒルベルトはいくつかの具体的なサブ目標について言及しており、その後の研究者はそれらを基にして彼の当初の構想を最終解決に向けた具体的なステップへと洗練させていった。
今年3月には、シカゴ大学のユー・デン氏とミシガン大学のザヘル・ハニ氏およびシャオ・マー氏がプレプリントサーバーarXiv.orgに新しい論文を発表し、主要目標の1つを達成したと主張した。もし彼らの研究結果が同僚らによる厳密な検証に耐えれば、物理学を堅固な数学的基盤の上に築くための画期的な一歩となり、物理学の他の分野でも同様に大きな進歩への扉を開く可能性がある。
論文の中で研究者らは、流体の動きを説明する3つの核となる物理理論を統合する方法を解明したと示唆している。これらの理論は、航空機の設計から天気予報まで幅広い分野に応用されていますが、これまでは数学的に厳密に証明されていない仮定に基づいていました。この画期的な進歩自体はこれらの理論の内容を変えるものではありませんが、理論に強固な数学的基礎を与え、流体の挙動を理解し予測するために頼っている方程式が考えていた通りに機能するという自信を高めます。
これら 3 つの理論の違いは、流れる液体または気体を観察するときに使用される「焦点距離」の違いにあります。最も微視的なレベルでは、液体は無数の小さな粒子で構成されています。無数の小さなビリヤードのボールが宇宙空間で跳ね回り、時折衝突する様子を想像してみてください。ニュートンの運動の法則は、それぞれの運動の軌跡をうまく記述することができます。
しかし、ズームアウトして、膨大な数の粒子の集団的な行動、いわゆるメソスコピックレベルに焦点を当て始めると、各粒子の動きを 1 つずつシミュレートすることは非現実的になります。オーストリアの理論物理学者ルートヴィヒ・ボルツマンは、早くも 1872 年にこの問題に取り組み、「ボルツマン方程式」として知られる方程式を考案しました。この方程式は、各粒子の正確な位置を追跡するのではなく、「典型的な」粒子の最も可能性の高い動作パターンを調べます。この統計的観点は、根底にある具体的な詳細を巧みに「ぼかし」、代わりに高レベルの全体的な傾向に焦点を当てます。この方程式により、物理学者は、微視的粒子間の衝突をすべて苦労して考慮することなく、運動量や熱伝導率など、流体内の巨視的量がどのように変化するかを計算できます。
さらにズームアウトすると、私たちは日常の経験というマクロの世界に入ります。このスケールでは、流体は個別の粒子の集合体としてではなく、連続した全体的な物質として見られるようになります。このレベルの分析では、オイラー方程式とナビエ・ストークス方程式というまったく異なる方程式のセットが、基礎となる粒子の概念を必要とせずに、流体の挙動とそれらの物理的特性が互いにどのように関係しているかを正確に記述します。
これら 3 つの異なる分析レベルはそれぞれ異なる視点を持っていますが、いずれも同じ基本的な物理的現実、つまり流体の流れ方を説明しています。理論的には、各理論はその下のより基本的な理論から論理的に導き出せるはずです。例えば、マクロレベルのオイラー方程式やナビエ・ストークス方程式は、メソスコピックレベルのボルツマン方程式から導き出せるはずです。そして、ボルツマン方程式自体は、微視的レベルではニュートンの運動法則から導き出せるはずです。これはまさにヒルベルトが第六の問題で要求している「公理化」であり、この問題を定式化する際に彼は特にボルツマンの気体に関する研究に言及しています。私たちは、統一された数学的規則に従い、微視的レベルから巨視的レベルまであらゆるレベルの現象を明確に説明できる完全な物理理論体系を期待しています。科学者がこれらのレベル間のギャップを埋めることができない場合、それは既存の理論に対する私たちの理解に何か問題があることを意味するのかもしれません。
流体力学に関するこれら 3 つの視点を統合することは、この分野では長い間難しい課題でした。しかし、鄧、ハニ、馬による最新の研究はまさにこの偉業を成し遂げたのかもしれない。彼らの成果は、この分野の学者による何十年にもわたる段階的な研究の積み重ねに基づいています。しかし、これまでの進歩には、多かれ少なかれ何らかの制限が伴ってきました。たとえば、関連する導出は、極めて短い時間スケール内でのみ有効であるか、真空状態でのみ実行できるか、または他の単純化仮定との調整を必要とします。
この新しい証明は、おおよそ 3 つの重要なステップに分けられます。第 1 に、メソスコピック理論からマクロスコピック理論を導出することです。第二に、ミクロ理論からメソスコピック理論を導出する。そして最後に、それらを巧みにつなぎ合わせて、最も基本的な微視的法則から巨視的法則に至るまでの完全な演繹連鎖を実現します。
このうち、最初のステップ、すなわちメソスコピックからマクロスコピックへの導出は、実は古くから理解されており、ヒルベルト自身もそれに貢献してきました。しかし、ミクロレベルからメソレベルへと導く 2 番目のステップは、数学的に非常に困難です。メソスコピックレベルは膨大な数の粒子の集団的行動に関係していることを忘れないでください。そこで、鄧氏、ハニ氏、馬氏は、衝突して跳ね返る個々の粒子の数が無限大に近づき、粒子自体のサイズがゼロに近づくと、ニュートン方程式に何が起こるかに注目した。彼らは、ニュートン方程式をこれらの極限まで押し広げると、システム全体の統計的挙動、つまり流体中の「典型的な」粒子の可能性のある挙動が、ボルツマン方程式の解に正確に収束することを示すことができました。このステップは非常に重要です。これは、ミクロ数学の極限挙動を導き出すことによって、メソスコピック数学への橋渡しをうまく構築します。
これを実現する上での主な障害は、方程式をシミュレートするために必要な時間範囲です。これまで、非常に短い時間スケールでニュートンの法則からボルツマン方程式を導く方法は知られていましたが、現実世界の流体は任意の長い時間流れる可能性があるため、ヒルベルトの壮大な青写真を実現するにはこれでは到底不十分でした。時間スケールが長くなるにつれて、複雑さは劇的に増大します。粒子間の衝突の数は指数関数的に増加し、粒子の過去の相互作用の履歴全体が現在の動作に影響を及ぼす可能性があります。 3人の著者は、粒子の履歴が現在の状態にどの程度影響するかを注意深く分析し、新しい数学的ツールを巧みに適用して、以前の衝突の累積的な影響を小さく抑えることができることを実証することで、この大きな課題を克服しました。
長時間スケールでの画期的な結果と、ボルツマン方程式からオイラー方程式とナビエ・ストークス方程式を導出するこれまでの研究を組み合わせることで、ついに流体力学の 3 つの主要理論の統一を達成しました。この発見は、数学的には最終的に同じ物理的現実を記述する究極の理論に流体が統一されているため、実際の状況に応じて流体を分析するための最も便利な視点を選択することが完全に合理的であることを強く証明しています。証明が正しいと仮定すると、それは確かにヒルベルトの壮大な計画を前進させる上で新たな地平を切り開くものとなる。このような新しい方法と視点の助けにより、ヒルベルトの問題のダムが最終的に破られ、物理学のさらなる真実が明らかになると期待する理由があります。